Freqüències

Freqüència relativa i freqüència absoluta

Quan s'escriu una taula per a anotar les dades que es van obtenir d'algun esdeveniment, experiment aleatori o joc d'atzar, s'està fent un estudi estadístic.

La freqüència és el nombre de vegades que es repeteix un valor o dada d'anàlisi en una taula. Hi ha dos tipus de freqüència: l'absoluta i la relativa. La freqüència absoluta és el nombre de vegades que es repeteix cada dada i la freqüència relativa és el quocient entre la freqüència absoluta d'un determinat valor i el nombre total de dades.

La freqüència relativa ens ajuda a identificar tendències. El nombre la freqüència del qual s'acoste més a la unitat és el que té majors probabilitats d'eixir.

En la taula de freqüències absolutes és senzill visualitzar com es distribueixen les dades. La columna de les freqüències absolutes ens indica el nombre de vegades que ocorre una mateixa dada.

Exemple:
La freqüència dels alumnes que mesuren 1.60 m és 1; la freqüència dels alumnes que mesuren 1.55 m és 2, etcètera.

Alçada	Freqüències
1.60 m	1
1.55 m	2
1.50 m	10
1.45 m	15
1.40 m	2
1.35 m	3
1.30 m	1
1.25 m	1
Total	35

Després d'analitzar la informació dels resultats, podem respondre les següents preguntes:

Quin és la freqüència dels alumnes que mesuren 1.45?

R = 15

Quin és la freqüència dels alumnes d'1.30?

R = 1

Quants integren el grup?

R = 35

Quants mesuren menys d'1.40? 

R = 5

Quin és la diferència d'alçada entre el més alt i el més baix?

R = 3.5 m

En una taula la suma de totes les freqüències relatives ha de donar com a resultat 1.00 (un enter). La freqüència relativa es pot expressar en fraccions, en nombres decimals o percentatges.

Podeu practicar aquests conceptes en el següent enllaç:

SuperSis

Quina és la probabilitat de traure un cinc o un sis quan es llança un dau? Més d'un adult es queda sense resposta -segur- si li preguntem en gelat. Massa vegades els problemes en matemàtiques sorgeixen així, sense previ avís, obris una pàgina i et trobes un, ho resols -o no- i apareix un altre (amb un context diferent) i així. 
Aquest joc es diu supersis i és molt senzill. Consisteix a col·locar xicotets pals -segons vas tirant el dau- en el nombre que t'haja eixit si està lliure. Tenim una capseta que té en la seua tapa els sis primers nombres, els que van de l'un al cinc són la base on inserim els pals, mentre que el sis -el supersis- deixa colar-se el pal a l'interior de la caixa. I si el nombre que ha eixit està ocupat? Doncs ens quedem amb el pal que hi havia en aqueix nombre i tenim un més. Guanya el jugador que aconseguisca descartar-se dels cinc o sis pals que repartim d'eixida.

Una vegada ha eixit un nombre que no estava ocupat, o un sis, pots triar si seguir tirant -i arriscar-te- o passar perquè jugue el rival. Aquesta regla és la que fa que el joc deixe de ser un joc d'atzar més o menys normal i es convertisca en un vertader joc matemàtic perquè implica que reflexionem sobre què és el millor segons la situació que s'està donant en la taula i aqueixa reflexió és la que afavoreix que es puga donar un aprenentatge. Per a no donar massa avantatge, en la primera ronda cada jugador solament pot fer una jugada.

El millor és que vegeu el vídeo que han preparat en  Juga y Educa  en  en el qual ho expliquen.

 

També es pot jugar on-line en el següent enllaç:

Us ha agradat? Doncs a jugar, i a compartir-ho.

Per cert que la resposta a la pregunta del principi és 2/6 perquè hi ha dos resultats favorables (5 o 6) i sis resultats possibles (les sis cares que té el dau).

Probablement...

Vull plantejar amb aquesta activitat que ens iniciem en família en el món de la probabilitat, ho anem a fer aprofitant materials que tenim a casa o recollits en les nostres vacances. Què és més probable?.

Què necessitem? objectes de dues classes diferents, com els taps de la llet (molt recomanable guardar-los, juntament amb les seues bases) i les petxines que hem arreplegat en la platja, també ens valdran xapes de refrescs. Necessitem a més dues borses transparents.

Com? Prenem 5 o 6 taps i una sola petxina i els introduïm en una borsa, en l'altra posem només petxines. Els plantegem un joc: que endevinen què va a eixir d'una borsa i de l'altra i els preguntem què és més fàcil o probable si traure una petxina de la borsa on hi ha moltes o de la borsa on solament hi ha una. 

Variem la proporció i tornem a preguntar. En una segona fase ho fem en una borsa opaca. Per què? Quasi tota la probabilitat que anem a necessitar en la nostra vida es basa en la llei de Laplace, que estableix el quocient entre casos favorables i possibles com la probabilitat que alguna cosa ocórrega. Aquest concepte és realment simple i un xiquet ho pot experimentar variant els “casos possibles” i tocant els successos impossibles.

Una breu història sobre la probabilitat

El càlcul de probabilitats sorgeix per a resoldre problemes de jocs d'atzar. La presència de l'os “astrágalo” (os del taló en els mamífers) en excavacions arqueològiques sembla confirmar que els jocs d'atzar tenen una antiguitat de més de 40.000 anys. De temps “més recents” existeix àmplia documentació sobre la utilització de les tabas (nom vulgar del “astrágalo”) a Grècia, Egipte i Roma. En les piràmides d'Egipte s'han trobat pintures que mostren jocs d'atzar de l'època de 3.500 anys a. de JC. 

Herodoto, historiador grec nascut l'any 484 a. de JC, escriu sobre la popularitat en la seua època dels jocs d'atzar, especialment mitjançant el tiratge de tabas i daus. Els daus procedeixen de les tabas, que en desgastar-se perdien la seua forma rectangular i es feien cúbiques. En les civilitzacions antigues, l'atzar tenia origen diví. Precisament, a Grècia i Roma, els sacerdots utilitzaven la combinació que resultava de llançar quatre tabas en els temples dels déus com a procediment mitjançant el qual la Fortuna, els Fats o la Destinació podien expressar els seus desitjos. Era una forma de predir el futur.

En els jocs amb el dau, el jugador desitja fer una anàlisi sobre la possible ocurrència o no ocurrència d'un succés amb l'objecte de valorar per endavant les seues possibles pèrdues o guanys. Durant centenars d'anys aquest problema quedava sense resoldre ja que, per a aquests jugadors, l'aleatori del joc portava parell no poder calcular, creença a la qual arribaven després de gran nombre d'intents sense èxit sobre el càlcul de les seues prediccions Malgrat la gran afició al joc dels daus entre egipcis, grecs i romans, aquests no van advertir que en un gran nombre de jugades es tendia a obtenir el mateix nombre de vegades una cara que les restants del dau, si aquest estava ben construït.

En els començaments del segle XVI, els matemàtics italians comencen a interpretar els resultats d'experiments aleatoris senzills. Entre els més representatius estan, Gerolano Cardano (1501-1576), el tractat dels quals, “De Ludo Aleae”, pot ser el millor manual escrit per a un jugador de l'època i Galileu Galilei (1564-1642), matemàtic, astrònom i físic. 

El desenvolupament, i els primers fonaments del càlcul de probabilitats per als jocs d'atzar es produeixen lentament durant els segles XVI i XVII, amb autors com Blaise Pascal (1623-1662) i Pierre de Fermat (1601-1665).